Capítulo 8: As Concepções Sobre o Infinito, Tempo e Espaço

        Há diferentes tipos de espaços curvos que podem ser concebidos. Alguns são análogos à superfície da esfera, e são chamados de espaços com curvatura positiva. Outros são análogos a uma superfície como a sela de um cavalo, e são chamados de espaços com curvatura negativa. Em cada um deles, existem muitas propriedades que são diferentes das que valem na geometria comum, de Euclides. Por exemplo: na geometria euclidiana, a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180^o, ou dois ângulos retos. Nas outras geometrias, a soma dos ângulos internos ode um triângulo pode ser sempre maior do que 180 ou sempre menor do que 180^o.
 

Para entender isso, é necessário mais uma vez pensar no caso da superfície terrestre. Imagine duas “retas” traçadas do pólo Norte até o Equador terrestre (ou seja: dois meridianos terrestres); suponha que as duas “retas” formam entre si um ângulo de 90o, no pólo Norte. Qual será o ângulo formado por cada uma delas com o Equador? É fácil ver que elas serão perpendiculares ao Equador, ou seja, formarão um ângulo reto (90o) com ele. Assim, o triângulo formado por esses meridianos e pelo equador terá três o ângulos retos, com um total, portanto, de 270o, ao invés de 180o. Na verdade, qualquer triângulo traçado sobre uma superfície esférica terá a soma dos ângulos internos sempre maior do que 180o. O valor exato da diferença dependerá do tamanho do triângulo. Em uma superfície de curvatura negativa, pelo contrário, a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre menor do que 180o.         Nos espaços tridimensionais curvos, valem propriedades semelhantes a essas. No entanto, não é possível imaginar a situação correspondente, pois esse espaço tridimensional não está encurvado para lado nenhum. Ele apenas tem propriedades matemáticas semelhantes às de uma superfície curva.

Exemplo de geometria não-euclidiana: Se no globo traçarmos um triângulo com um dos vértices em um dos polos e os outros dois na linha do equador, a soma de seus ângulos será igual a 270o .