Pitágoras

 

Pitágoras Os gregos reconheciam uma dupla tradição na história das suas idéias sobre a natureza das coisas: uma puramente naturalista ou materialista, a tradição atéia da Jônia; e a segunda a tradição religiosa que começa com Pitágoras na Magna Grécia, no Ocidente.

Platão  concebe  as idéias principais da tradição religiosa do pensamento, que são as suas próprias. De acordo com esta teoria a alma é a primeira das coisas. Existiu antes de todos os corpos e é o fator principal de suas mudanças  e transposições. As coisas da alma precedem as do corpo, isto é, o pensamento, a atenção, a mente a intenção  e a lei são anteriores as qualidades da matéria . O desígnio, a mente ou a providencia existem antes; depois, a natureza e a suas obras. O que chamamos natureza está sob  o governo do desígnio ou da mente. Tal é a tradição que se supõe ter começado com Pitágoras.

 

Pitágoras  não e só fundador da tradição religiosa, como também um dos mais ilustres homens de ciência  da Grécia. Grego, jônico por sua origem, provavelmente tinha sangue fenício nas veias. Emigrou para o ocidente quando o domínio persa se estendeu até o Egeu, ameaçando a liberdade dos gregos asiáticos. Estabeleceu-se em Crotona, na Itália meridional. Pitágoras nasceu na ilha de Samos, que era, ao tempo, como a cidade de Mileto, berço da ciência grega, uma potencia comercial em crescente progresso. Polícrates, ditador de Samos, destruíra o poder da aristocracia fundiária e governava a ilha com o apoio dos comerciantes. Para conveniência destes, ampliou e melhorou o porto.

Pitágoras tinha 40 anos mais ou menos, quando, no ano 530 a.C., a conquista persa da Jônia alterou seus planos. De Samos fugiu para Crotona. Sem dúvida, antes de tentar a aventura, sabia ele o que encontraria nesta cidade comercial semelhante. Era ele político ativo e é provável que se ligasse a classe dos comerciantes, a qual ocupava, como em toda parte, posição intermediária entre a aristocracia fundiária e os camponeses e trabalhadores. Adquiriu grande influência e reformou a vida política e religiosa da sua pátria adotiva. 

Contudo, Pitágoras não foi somente  reformador religioso e político, como também homem de ciência. Compreenderemos melhor  a sua ciência se tivermos presentes suas idéias religiosas  e políticas, que estão intimamente ligadas.  A comunidade pitagórica  era uma irmandade religiosa dedicada a prática do ascetismo e ao estudo das matemáticas. Os seus membros deviam fazer exame de consciência diariamente, acreditavam na imortalidade e na transmigração da alma. O corpo mortal não era mais do que uma prisão ou tumba onde a alma habitava temporariamente. Tais  crenças eram rebatidas pelos adeptos de outras religiões, então difundidas na Grécia. O pitagorismo era, como efeito, uma forma artificial de mistério religioso. A peculiaridade do sistema era encontrar nas matemáticas a chave do enigma do universo e o instrumento da purificação da alma. Dizia Plutarco, como bom pitagórico: “a função da geometria é conduzir-nos do sensível e passageiro ao inteligível e eterno, pois a contemplação do eterno é a finalidade da filosofia como a contemplação dos mistérios é a finalidade da religião.”  O paralelo é significativo. Os pitagóricos foram os iniciadores da atitude religiosa para com as matemáticas. A bem dizer, não desprezaram nos primeiros tempos de escola a aplicação prática das matemáticas. A influência pitagórica se deve o plano sistemático das cidades, começando na Grécia  neste período; porém o incremento da mística religiosa, baseada nas matemáticas, deve também atribuir-se a tal escola.

 

O UNIVERSO MATEMÁTICO

 

A escola fez rápidos e grandes progressos na geometria e na teoria dos números. Em geral, se aceita, que nos meados do século V a.C. se tinha alcançado a maioria das conclusões que Euclides sistematizou nos livros I, II, VII e XI, nos seus Elementos. É esta uma conquista científica de primeira ordem. Mas, se estudarmos seus conceitos matemáticos  nas páginas da famosa obra de Euclides, não notaremos seu outro aspecto: o fervor religioso com o qual sustentam suas idéias os pitagóricos.  Uma citação de Filolau, um pitagórico do século V, nos ajudará a vê-lo:

 

”Consideremos os efeitos e a natureza do número, de acordo com o poder que reside na dezena. É grande todo poderoso e auto suficiente, primeiro princípio e guia dos deuses, do céu e do homem. Sem ele, tudo é ilimitado, obscuro e indiscernível. A natureza do número há  de ser padrão de referência, guia e orientação de toda a dúvida ou dificuldade, se não fosse pelo número e por sua natureza, nada do que existe poderia ser compreendido por ninguém, nem em si mesmo, nem em relação as outras coisas .... Podemos observar o poder do número exercendo-se, não só nos negócios dos demônios e dos deuses como também em todos os atos e pensamentos dos homens, e em todos os seus ofícios e na música. Nem a harmonia nem a natureza do número  admitem falsidade. A falsidade é incompatível com eles. A falsidade  e a inveja só são compatíveis com o ilimitado, o ininteligível  e o irracional.”

 

Esta passagem não faz somente ressaltar o aspecto religioso da matemática pitagórica. Também destaca a importância da matemática para as artes práticas, o que é característico dos primeiros tempos da filosofia grega e, de certo modo, característico seu até o fim. Para os jônicos primitivos não havia diferença essencial entre os processos técnicos e os naturais. A hipótese jônica de que a natureza é inteligível se fundava no conceito de que as artes práticas eram esforços inteligentes do homem para cooperar com a natureza para o seu próprio bem. Os  pitagóricos, promotores do grande sistema filosófico que se seguiu, ainda compartilham da mesma concepção. Para eles o número não era só o primeiro princípio dos céus, como mostrava também seu poder em todos os ofícios. A harmonia dos números é sempre tema pitagórico, seja qual for a parte dessa filosofia que examinarmos. Aqui nos limitaremos aos dois ramos sobre os quais mais poderosamente influiu a teoria matemática de Pitágoras: a cosmologia e a música. A cosmologia dos pitagóricos é muito curiosa e importante. Não tentaram eles, como os jônicos, descrever o universo em termos de comportamento  de certos elementos materiais e processos físicos, ainda que o descrevam exclusivamente em termos numéricos. Muito depois Aristóteles  disse que eles consideravam o número como origem e forma do universo. Os números constituíam o verdadeiro elemento de que constituía o mundo. Chamavam Um ao ponto, Dois  a linha,   Três    a superfície  e Quatro ao sólido, de acordo com o número mínimo de pontos necessários para definir cada qual dessas dimensões. Os pontos, para eles, tinham tamanho; as linhas altura; e as superfícies profundidade. Os pontos se somavam para formar as linhas; as linhas, por sua vez para formar as superfícies; e estas para formar os volumes. A partir de Um, Dois, Três e Quatro, podiam construir o mundo. Não é estranho que Dez, a soma destes números, tenha um poder sagrado e onipotente. Concluiu-se, portanto, que a teoria dos números, tão aperfeiçoada pelos pitagóricos, foi para eles mais do que matemática: era também física.

A identificação dos números com as coisas pode parecer hoje surpreendente ao estudante. Intrigará menos se seguir o mesmo caminho que levou Pitágoras a tal conceito. 

O estudo de Pitágoras  sobre a teoria dos números , cujo método consistia em empregar o que chamavam números figurados. Representavam assim os números triangulares:Números Triângulares

e assim sucessivamente;
e assim os números quadrados :
Números Quadrados

e assim sucessivamente;
e desta maneira os números pentagonais:
Números Pentagonais

 e assim sucessivamente.

 

  Era esta nova técnica de analisar as propriedades dos números e a condição de possibilidade da identificação deles com  as coisas, determinando como veremos logo mais, as características do sistema cosmológico dos pitagóricos.

    Esta filosofia matemática  apareceu como rival da filosifia natural dos jônicos. É evidente que, como a teoria do universo, revela menor intuição sensível e mais pensamento abstrato do que a concepção jônica. As relações matemáticas aqui ocupam  o lugar dos processos físicos ou estados tais como a rarefação  e a condensação, ou a tensão. O universo, segundo os pitagóricos, poderia compreender-se melhor e mais rapidamente desenhando diagramas na areia,  do que pensando em fenômenos tais como a formação das praias, a sedimentação nas foz dos rios, a evaporação e assim por diante. Mas nisso esta o risco. Pitágoras Essa aproximação das matemáticas era comum aos princípios religiosos e sociais da escola. As matemáticas não só pareciam explicar as coisas melhor que as concepções jônicas , como também contribuíam para manter a alma livre do contato com as coisas terrenas e materiais. Adaptavam-se ao temperamento variável de um povo , cujo desprezo pelo trabalho manual corria parelhas com o incremento da escravidão. Em uma sociedade onde todo o contato com os processos técnicos da produção era cada vez mais vexatório, tanto que era função própria dos escravos , se considerava acaso extraordinariamente feliz  que a constituição secreta das coisas  não se revelasse aqueles que as manipulavam nem aos que trabalhavam com o fogo, mas aos que faziam diagramas e desenhos na areia. Para Heráclito que assistiu ao fim de uma escola de pensamento na qual a técnica industrial desempenhara papel significativo, proporcionando as idéias que serviam para explicar a natureza, nada mais natural que considerar o fogo, principal agente da manipulação técnica das coisas materiais, como o elemento fundamental. A substituição do fogo pelo número como princípio fundamental, assinala uma etapa na separação da filosofia, da técnica da produção. Passo de importância fundamental na interpretação da história  do pensamento grego é que o traço característico das atividades meramente mecânicos das soldagem, do fole e do torno do oleiro perde  a influência sobre o pensamento grego, em comparação com o desenvolvimento mais aristocrático da teoria da teoria dos números e da geometria.

    Tendo construído a matéria com números, os pitagóricos tratam logo de ordenar os principais elementos do universo, segundo um plano que continha pouca observação da natureza e muito raciocínio matemático dedutivo. Vinculando os valores morais e estéticos as relações matemáticas e sustentando a natureza divina  dos corpos celestes, como esferas  perfeitas,  as quais descreviam órbitas perfeitamente circulares, tendo aqui a palavra perfeito significação moral e matemática. Não provaram que os corpos celestes fossem esferas perfeitas, nem que descrevesses circunferências perfeitas ; não obstante, o fato é que os pitagóricos realizaram grandes progressos na matemática, aplicando a nova técnica a astronomia, e foram pioneiros nesse terreno. Sua concepção do universo é de transcendência histórica. O fogo ocupava a parte central; ao redor dele girava a Terra, a Lua o Sol, os cinco planetas e o céu das estrelas fixas. Cosmogonia Pitagórica
Supunham que as distâncias dos corpos celestes ao fogo central correspondiam aos intervalos das notas da escala musical.  Isto lhes proporcionou o plano básico para investigações posteriores. Já não se falava em tubos de fogo, como Anaximandro, que podem parecer-nos primitivos, mas constituíam um esforço para a explicação mecânica do universo. Foram estes subsídios por uma astronomia puramente geométrica que aspirava a determinar a posição dos corpos celestes, os quais eram considerados divinos.  Amplos progressos logrados na compreensão das dimensões relativas, distância e posição dos corpos celestes, resultado da aplicação de uma nova técnica a umas poucas observações, transformariam através dos séculos o simples plano pitagórico no complicado sistema de Ptolomeu.

    A contribuição dos pitagóricos à música e a acústica é ainda mais interessante do que a cosmologia. Como descobriram os intervalos fixos da escala musical? É razoável supor que esta descoberta seja um dos primeiros triunfos do método da observação e da experimentação. Existe uma versão de Boécio, que viveu no século VI da era Cristã; história do gênero que a antiguidade tendia mais a esquecer do que a inventar, eis aqui o relato de Boécio ligeiramente resumido:

          Pitágoras, obcecado pelo problema da explicação matemática dos intervalos fixos da escala musical, aconteceu-lhe pela graça de Deus, passar de frente a uma ferraria.  Chamou-lhe a atenção a musicalidade do ritmo dos golpes dos martelos sobre a bigorna. Era irresistível a oportunidade que se lhe oferecia  de se analisar o problema em outras condições. Assim observou largamente.  Pensou primeiro que as diferentes notas fossem proporcionais as forças dos homens. Fez então que os ferreiros trocassem os martelos entre si. Evidenciou-se o erro da primeira idéia, pois o resultado era o mesmo. A explicação deveria estar nos martelos não nos homens.

          Havia cinco martelos em ação. Por que não os pesaria? Milagres dos milagres! O peso de quatro deles estavam na proporção de 12, 9, 8  e 6. O quinto cujo peso não correspondia a relação numérica com o resto, era o que fazia perder a perfeição ao repique. Retirado ele, Pitágoras voltou a escutar. Com efeito o mais pesado dos martelos, cujo o peso era o dobro do menor , dava a oitava mais baixa. A doutrina do meio aritmético e harmônico(12,9,6 e 12,8,6) lhe revelou a relação que guardavam os intervalos entre os dois martelos. Deus quis, com certeza pensou Pitágoras, que ele passasse em frente a ferraria. Correu depois a casa para continuar suas experiências, já em condições que poderíamos chamar de “laboratório”.

    Seria a relação matemática observada  a única razão da harmonia observada entre aquelas notas? Pitágoras ensaiou outro meio. Fez vibrar cordas.  Descobriu que a nota emitida estava relacionada com o comprimento. Mas que teriam de ver a tensão e a espessura das cordas? Fez também experiência entre estes dois pontos. Finalmente, voltando as relações de comprimento, experimentou flautas de bambu de dimensões adequadas. Então se convenceu.

 

    Esta é a tradição que registra Boécio.  Há nela alguma coisa de confuso. A experiência dos martelos não pode dar o resultado que lhe atribuiu. Se Pitágoras fez experiência com a tensão, os resultados devem tê-lo surpreendido. O número de vibrações de uma corda tensa não é proporcional ao peso que ela suporta, mas sim a raiz quadrada do peso. Falta-nos prova de que Pitágoras ou qualquer um de seus contemporâneos o soubesse.  Estas experiências são de significado crucial na história da ciência. Admite-se que os gregos nunca praticaram a experimentação com a amplitude e sistematização que caracterizam os nossos tempos, o que não significa que eles não praticassem, tanto é que a tradição atribui essa descoberta ao próprio Pitágoras, o que pode ser aceitável. O desenvolvimento dos métodos experimentais aplicados a acústica e a outras partes da Física é um dos títulos de glória mais legítimos a escola dos pitagóricos.           

Suposta tumba de Pitágoras      A crise da concepção geométrica que do mundo tinham os pitagóricos, nos meados do século v a.C., os quais construíam o universo com pontos de grandeza, onde era impossível determinar o número de pontos  que havia em uma determinada linha, pois afirmavam que este deveria ser finito.  Com o progresso de sua própria ciência matemática, este problema foi eliminado quando descobriu-se que a diagonal e lado do quadrado são incomensuráveis.

    √2 é um número “irracional”.  O que proporcionou aos pitagóricos grande surpresa, pois eles sustentavam que o número e a razão são a mesma coisa, tiveram eles que estabelecer  que não se pode expressar √2 com nenhum número, o que gerou grande confusão. Se a diagonal e o lado do quadrado são incomensuráveis, deduz que as linhas são infinitamente indivisíveis, os pequenos pontos que serviam para construir o universo devem ser descritos de outro modo, não meramente matemático. 


Bibliografia:



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